5.  Уравнение для радиальных функций

Обратимся теперь к оператору потенциалов (энергии). После преобразования к сферическим координатам его можно написать в виде

$$H^{*}=c\rho_{a}P^{*}+mc^2\rho_{c}+U(r).$$ (5.111)

Оператор $P^{*}$ для четырехкомпонентных функций получается из соответствующего оператора для двухкомпонентных функций заменой матриц Паули $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ на четырехрядные матрицы $s_{1}, s_{2}, s_{3}$ . На основании формулы (37) $\S 6$ ч. $III$ мы имеем

$$P^{*}=\frac{s_{1}}{r}p_{\vartheta}+\frac{s_{2}}{r\sin\vartheta}p_{\varphi}+s_{3}p_{r}.$$ (5.112)

Этот оператор связан с изученным в $\S 4$ оператором

$${\cal M}^{*}=-\frac{s_{1}}{\sin\vartheta}p_{\varphi}+s_{2}p_{\vartheta}$$ (5.113)

таким же соотношением, как и в теории Паули (формула (38) $\S 6$ ч. $III$ ), а именно

$$P^{*}=s_{3}\left(p_{r}+i\frac{{\cal M}^{*}}{r}\right).$$ (5.114)

Мы предполагаем, что четырехкомпонентная функция $\psi^{*}$ есть собственная функция оператора

$${\cal M}^{*}_{D}=\rho_{c}{\cal M}^{*},$$ (5.115)

который (в отличие от ${\cal M}^{*}$ ) коммутирует с оператором энергии. Поэтому мы можем воспользоваться формулой (4.102) $\S 4$ и положить

$${\cal M}^{*}\psi^{*}=k\hbar\rho_{c}\psi^{*}.$$ (5.116)

В силу соотношения (5.111), будет

$$P^{*}\psi^{*}=s_{3}\left(p_{r}+\frac{ik\hbar}{r}\rho_{c}\right)\psi^{*}$$ (5.117)

и, следовательно,

$$\rho_{a}P^{*}\psi^{*}=s_{3}\left(\rho_{a}p_{r}+\rho_{b}\frac{k\hbar}{r}\right)\psi^{*}.$$ (5.118)

Таким образом, уравнение для собственных функций оператора энергии напишется

$$H^{*}\psi^{*}=\left\{c\rho_{a}s_{3}p_{r}+c\rho_{b}s_{3}\frac{k\hbar}{r}+mc^2\rho_{c}+U(r)\right\}\psi^{*}=W\psi^{*}.$$ (5.119)

В это уравнение входят матрицы

$$\tau_{a}=\rho_{a}s_{3},\qquad \tau_{b}=\rho_{b}s_{3},\qquad \tau_{c}=\rho_{c},$$ (5.120)

которые удовлетворяют тем же соотношениям

$$\tau_{a}\tau_{b}=i\tau_{c},\qquad \tau_{b}\tau_{c}=i\tau_{a},\qquad \tau_{c}\tau_{a}=i\tau_{b},$$ (5.121)

как и матрицы $\rho_{a}, \rho_{b}, \rho_{c}$ . Для удобства дальнейших вычислений напишем матрицы $\tau_{a}, \tau_{b}, \tau_{c}$ в явной форме. Мы имеем

$$\tau_{a}=\left\vert \begin{array}{@{\extracolsep{-1pt}}cccc} 1& 0... ...0& 0& -1 0& 0& 1& 0 0& 1& 0& 0 -1& 0& 0& 0 \end{array} \right\vert.$$ (5.122)

Перепишем уравнение (5.116) в виде

$$H^{*}\psi^{*}=\left\{c\tau_{a}p_{r}+c\tau_{b}\frac{k\hbar}{r}+mc^2\tau_{c}+U(r)\right\}\psi^{*}=W\psi^{*}.$$ (5.123)

Пользуясь выражениями (5.119) для матриц $\tau_{a}, \tau_{b}, \tau_{c},$ мы можем написать уравнения (5.120) в раскрытом виде. После перенесения члена с потенциальной энергией в правую часть мы получим

$$\left. \begin{array}{rcl} cp_{2}\psi^{*}_{1}-ic\frac{k\hbar}{r}\p... ...hbar}{r}\psi^{*}_{1}-mc^2\psi^{*}_{1}=(W-U)\psi^{*}_{4}, \end{array} \right\}$$ (5.124)

Подставляя сюда значения $\psi^{*}_{i}$ из формулы (4.106) $\S 4$ и заменяя оператор $p_{r}$ его выражением через производную, мы получим для радиальных функций $f(r)$ и $g(r)$ систему уравнений

$$\left. \begin{array}{rcl} -ic\hbar\frac{df}{dr}+ic\frac{k\hbar}{r... ...] ic\hbar\frac{dg}{dr}-ic\frac{k\hbar}{r}f+mc^2f=(W-U)g, \end{array} \right\}$$ (5.125)

повторенную два раза.