10.  Другой вывод правила отбора

Ввиду важности правила отбора, приведем здесь другой его вывод, менее элементарный, но не требующий знания шаровых функций. Идея этого вывода принадлежит Дираку.

Рассмотрим оператор

$${\cal M}_{z}=m_{z}+\frac{1}{2}\hbar\sigma_{z}$$

с собственными значениями

$$\left(m+\frac{1}{2}\right)\hbar.$$

Матрица этого оператора будет диагональной относительно квантового числа $m$ . Если мы будем писать только это квантовое число, подразумевая остальные, то мы будем иметь

$$(m\vert{\cal M}_{z}\vert m^{\prime})=\left(m+\frac{1}{2}\right)\hbar\delta_{mm^{\prime}}.$$

Рассмотрим теперь матрицы для координаты $z$ с элементами

$$(m\vert z\vert m^{\prime}).$$

Из равенства между операторами

$${\cal M}_{z}z-z{\cal M}_{z}=0$$ (10.206)

вытекает следующее равенство между элементами матриц:

$$\left(m+\frac{1}{2}\right)\hbar(m\vert z\vert m^{\prime})-(m\vert z\vert m^{\prime})\left(m^{\prime}+\frac{1}{2}\right)\hbar=0,$$ (10.207)

или

$$(m-m^{\prime})(m\vert z\vert m^{\prime})=0.$$ (10.208)

Следовательно, только те элементы матрицы для $z$ отличны от нуля, для которых $m^{\prime}=m$ . В этом заключается, как мы уже знаем, правило отбора для $z$ относительно квантового числа $m$ .

Заметим теперь, что правила отбора для $x,y,z$ те же, что для $\dot x=c\rho_{a}\sigma_{x}, \dot y=c\rho_{a}\sigma_{y}, \dot z=c\rho_{a}\sigma_{z}$ , поэтому мы вместо координат $x,y,z$ можем оперировать с матрицами

$$\alpha_{1}=\rho_{a}\sigma_{x},\quad \alpha_{2}=\rho_{a}\sigma_{y},\quad \alpha_{3}=\rho_{a}\sigma_{z},$$

что в некоторых случаях бывает проще. Например, из равенства

$${\cal M}_{z}\alpha_{3}-\alpha_{3}{\cal M}_{z}=0,$$

или

$${\cal M}_{z}\dot{z}-\dot{z}{\cal M}_{z}=0$$ (10.209)

вытекает

$$(m-m^{\prime})(m\vert\dot{z}\vert m^{\prime})=0,$$ (10.210)

т.е. прежний результат.

Выведем правило отбора для $x$ и $y$ или, что то же, для $\dot{x}$ и $\dot{y}$ . Имеем

$${\cal M}_{z}\dot{x}-\dot{x}{\cal M}_{z}=c\rho_{a}({\cal M}_{z}\sigma_{x}-\sigma_{x}{\cal M}_{z})=i\hbar c\rho_{a}\sigma_{y},$$

или

$${\cal M}_{z}\dot x-\dot{x}{\cal M}_{z}=i\hbar\dot{y}$$ (10.211)

и аналогично

$${\cal M}_{z}\dot{y}-\dot{y}{\cal M}_{z}=c\rho_{a}({\cal M}_{z}\sigma_{y}-\sigma_{y}{\cal M}_{z})=i\hbar c\rho_{a}\sigma_{x},$$

или

$${\cal M}_{z}\dot y-\dot{y}{\cal M}_{z}=i\hbar\dot{x}.$$ (10.212)

Умножая (10.209) на $i$ и складывая с (10.208), будем иметь

$${\cal M}_{z}(\dot{x}+i\dot{y})-(\dot{x}+i\dot{y}){\cal M}_{z}=\hbar(\dot{x}+i\dot{y}).$$ (10.213)

Переходя к элементам матрицы, получим

$$(m-m^{\prime}-1)(m\vert\dot{x}+i\dot{y}\vert m^{\prime})=0,$$ (10.214)

т.е. тот же результат, какой вытекает из (9.195) $\S 9$ . Аналогично получается

$$(m-m^{\prime}+1)(m\vert\dot{x}-i\dot{y}\vert m^{\prime})=0.$$ (10.215)

Отсюда условие, чтобы элементы матрицы для $x$ и для $y$ были отличны от нуля:

$$m^{\prime}=m\pm1.$$ (10.216)

Этот вывод можно несколько видоизменить. Из (10.208) и (10.209) следует

$${\cal M}^2_{z}\dot{x}-2{\cal M}_{z}\dot{x}{\cal M}_{z}+\dot{x}{\cal M}^2_{z}-\hbar^2\dot{x}=0.$$ (10.217)

Переходя к элементам матриц, будем иметь

$$\begin{multline}%\nonumber \left(m+\frac{1}{2}\right)^2(m\vert\dot{x}\vert m^{\p... ...}+\frac{1}{2}\right)^2-(m\vert\dot{x}\vert m^{\prime})=0 \nonumber\end{multline}$$

()

или

$$[(m-m^{\prime})^2-1](m\vert\dot{x}\vert m^{\prime})=0,$$ (10.219)

Откуда получается прежний результат (10.213).

Выведем теперь правило отбора относительно квантового числа $k$ . Величина $k\hbar$ есть собственное значение оператора

$${\cal M}_{D}=\rho_{c}{\cal M},$$ (10.220)

где

$${\cal M}=\sigma_{x}m_{x}+\sigma_{y}m_{y}+\sigma_{z}m_{z}+\hbar.$$ (10.221)

${\cal M}_{D}$ есть рассмотренное в $\S 3$ обобщение оператора теории Паули. Согласно формуле (18) $\S 1$ ч. $III$ кн. [10], оператор ${\cal M}$ удовлетворяет соотношению

$${\cal M}^2=\hbar{\cal M}+(m^2_{x}+m^2_{y}+m^2_{z}).$$ (10.222)

Рассмотрим оператор

$${\cal L}={\cal M}_{D}({\cal M}^2_{D}\dot{z}-\dot{z}{\cal M}^2_{D})-({\cal M}^2_{D}\dot{z}-\dot{z}{\cal M}^2_{D}){\cal M}_{D}.$$ (10.223)

В силу формулы (10.216) и вытекающего из нее равенства

$${\cal M}^2_{D}={\cal M}^2,$$ (10.224)

оператор ${\cal L}$ может быть написан в виде

$${\cal L}=(\rho_{c}{\cal M})({\cal M}^2\dot{z}-\dot{z}{\cal M}^2)-({\cal M}^2\dot{z}-\dot{z}{\cal M}^2)(\rho_{c}{\cal M}).$$ (10.225)

Вследствие того, что матрица $\rho_{c}$ коммутирует с ${\cal M}$ и антикоммутирует с $\dot{z}=c\rho_{a}\sigma_{z}$ , мы можем написать выражение для ${\cal L}$ в виде

$${\cal L}=\rho_{c}[{\cal M}({\cal M}^2\dot{z}-\dot{z}{\cal M}^2)-({\cal M}^2\dot{z}-\dot{z}{\cal M}^2){\cal M}].$$ (10.226)

Но из формулы (10.218) вытекает равенство

$${\cal M}^2\dot{z}-\dot{z}{\cal M}^2=\hbar({\cal M}\dot{z}-\dot{z}{\cal M}).$$ (10.227)

Пользуясь им, мы можем написать вместо (10.222)

$${\cal L}=\hbar\rho_{c}[{\cal M}({\cal M}\dot{z}-\dot{z}{\cal M})+({\cal M}\dot{z}-\dot{z}{\cal M}){\cal M}].$$ (10.228)

Здесь члены вида ${\cal M}\dot{z}{\cal M}$ сокращаются и мы получаем

$${\cal L}=\hbar\rho_{c}({\cal M}^2\dot{z}-\dot{z}{\cal M}^2)$$ (10.229)

и после повторного применения равенства (10.223)

$${\cal L}=\hbar^2\rho_{c}({\cal M}\dot{z}-\dot{z}{\cal M}).$$ (10.230)

Возвращаясь к оператору Дирака ${\cal M}_{D}$ и учитывая антикоммутативность $\dot{z}$ и $\rho_{c}$ , мы будем иметь

$${\cal L}=\hbar^2({\cal M}_{D}\dot{z}-\dot{z}{\cal M}_{D}).$$ (10.231)

Приравнивая исходное и окончательное выражения (10.219) и (10.227) для оператора ${\cal L}$ , мы получим равенство

$${\cal M}^3_{D}\dot{z}-{\cal M}_{D}\dot{z}{\cal M}^2_{D}-{\cal M}^... ...}_{D}+\dot{z}{\cal M}^3_{D}-\hbar^2({\cal M}_{D}\dot{z}+\dot{z}{\cal M}_{D})=0.$$ (10.232)

Перейдем от операторов к матрицам в том представлении, в каком оператор ${\cal M}_{D}$ диагонален. Элемент матрицы для каждого члена в (10.228) получится из элемента матрицы $(k\vert\dot{z}\vert k^{\prime})$ для $\dot{z}$ умножением на собственные значения $\hbar k$ или $\hbar k^{\prime}$ оператора ${\cal M}_{D}$ в соответствующей степени (на $\hbar k$ , если ${\cal M}_{D}$ стоит слева, и на $\hbar k^{\prime}$ если ${\cal M}_{D}$ стоит справа от $\dot{z}$ ). Сокращая на $\hbar^3$ , будем иметь

$$(k^3-kk^{\prime^2}-k^2k^{\prime}+k^{\prime^3}-k-k^{\prime})(k\vert\dot{z}\vert k^{\prime})=0,$$ (10.233)

или

$$(k+k^{\prime})(k-k^{\prime}-1)(k-k^{\prime}+1)(k\vert\dot{z}\vert k^{\prime})=0,$$ (10.234)

откуда вытекает правило отбора относительно $k$ :

$$k^{\prime}=-k,\quad k^{\prime}=k+1,\quad k^{\prime}=k-1,$$ (10.235)

которое мы уже выводили иным путем.