11.  Атом водорода. Радиальные функции

Для атома водорода, в котором потенциал положения (потенциальная энергия) равен

$$U(r)=-\frac{e^2}{r}$$ (11.236)

уравнения (6.125) $\S 6$ для радиальных функций, допускают точное решение. В данном случае эти уравнения имеют вид

$$\left. \begin{array}{lcr} \displaystyle{\frac{df_{1}}{dr}-\frac{k... ...ac{1}{\hbar c}\left(-mc^2+W+\frac{e^2}{r}\right)f_{1}.} \end{array} \right\}$$ (11.237)

Мы ограничимся рассмотрением точечного спектра, когда $W^2<m^2c^4$ . Положим

$$\alpha=\frac{\sqrt{m^2c^4-W^2}}{\hbar c},$$ (11.238)

причем будем считать $\alpha$ положительным. Имея в виду асимптотические формулы(7.157) $\S 7$ , введем в качестве новой независимой переменной величину

$$x=2\alpha r$$ (11.239)

и положим

$$W=mc^2\cos\varepsilon,\qquad \alpha=\frac{mc}{\hbar}\sin\varepsilon\qquad (0<\varepsilon<\pi).$$ (11.240)

Символом $\gamma$ мы обозначим Зоммерфельдовскую постоянную тонкой структуры

$$\gamma=\frac{e^2}{\hbar c}=\frac{1}{137},$$ (11.241)

с которой мы уже встречались.

После замены переменных уравнения (11.233) примут вид

$$\left. \begin{array}{lcr} \displaystyle{\frac{df_{1}}{dx}-\frac{k... ...\tg\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\gamma}{x}\right)f_{1}.} \end{array} \right\}$$ (11.242)

Угол $\varepsilon$ играет здесь роль параметра: его нужно определить так, чтобы уравнения (11.238) имели решения, конечные и непрерывные во всем промежутке $0<x<\infty$ и обращающиеся в нуль при $x=0$ и $x=\infty$ .

Введем теперь по формулам

$$f_{1}=\frac{F-G}{2\sin\frac{\varepsilon}{2}},\quad f_{2}=\frac{F+G}{2\cos\frac{\varepsilon}{2}}$$ (11.243)

две новые функции $F$ и $G$ ; эти функции выражаются через $f_{1}$ и $f_{2}$ следующим образом:

$$\left. \begin{array}{lcr} \displaystyle{F(x)=f_{1}\sin\frac{\vare... ...n\frac{\varepsilon}{2}+f_{2}\cos\frac{\varepsilon}{2}.} \end{array} \right\}$$ (11.244)

Умножая первое уравнение (11.238) на $\pm\sin\frac{\varepsilon}{2}$ , второе на $\cos\frac{\varepsilon}{2}$ и складывая, получим

$$\left. \begin{array}{lcr} \displaystyle{\frac{dF}{dx}+\frac{k}{x}... ...{2}G+\frac{\gamma}{x\sin\varepsilon}(F-G\cos\varepsilon).} \end{array} \right\}$$ (11.245)

Из этих уравнений мы можем исключить одну из функций $G$ или $F$ ; результатом исключения будет соответственно

$$x^2\frac{d^2F}{dx^2}+x\frac{dF}{dx}+\left[-\frac{1}{4}x^2+x\left(\gamma\ctg\varepsilon+\frac{1}{2}\right)-k^2+\gamma^2\right]F=0,$$ (11.246)

или

$$x^2\frac{d^2G}{dx^2}+x\frac{dG}{dx}+\left[-\frac{1}{4}x^2+x\left(\gamma\ctg\varepsilon-\frac{1}{2}\right)-k^2+\gamma^2\right]G=0.$$ (11.247)

Эти уравнения того же типа, как уравнение

$$-\frac{d}{dx}\left(x\frac{dy}{dx}\right)+\left(\frac{x}{4}+\frac{s^2}{4x}\right)y=\left(p+\frac{s+1}{2}\right)y,$$ (11.248)

которое было нами подробно исследовано в главе, посвященной нерелятивистской задаче об электроне в Кулоновом поле ($S$ $\S 3,4$ и 5 гл. $V$ ч. $II$ ). Чтобы получить совпадение уравнения (11.242) для $F$ с уравнением (11.244) для $y$ , достаточно положить

$$s=2\sqrt{k^2-\gamma^2},\qquad p+\frac{s}{2}=\gamma\ctg\varepsilon.$$ (11.249)

Для уравнения (11.243) параметр $s$ будет иметь то же значение, а число $p$ будет на единицу меньше. Следовательно, собственные значения параметра $\gamma\ctg\varepsilon$ равны

$$\gamma\ctg\varepsilon=p+\sqrt{k^2-\gamma^2}\qquad (p=0, 1, 2,\ldots),$$ (11.250)

а собственными функциями будут

$$\displaystyle{F(x)=Cx^{\frac{s}{2}}e^{-\frac{x}{2}}Q^s_{p}(x),}$$ (11.251)

$$\displaystyle{G(x)=C^{\prime}x^{\frac{s}{2}}e^{-\frac{x}{2}}Q^s_{p-1}(x).}$$ (11.252)

Так как $F$ и $G$ связаны системой уравнений (11.241), отношение постоянных $C$ и $C^{\prime}$ будет вполне определенным.

Решая первое из уравнений (11.241) относительно $G$ , будем иметь

$$\begin{array}{l} G(x)=\frac{1}{\displaystyle\frac{\gamma}{\si... ...c{x}{2}}\left(pQ^s_{p}-x\frac{dQ^s_{p}}{dx}\right). \end{array}$$ (11.253)

Но по свойству полиномов $Q^s_{p}$ , выведенному нами ранее, мы имеем

$$pQ^s_{p}-x\frac{dQ^s_{p}}{dx}=p(p+s)Q^s_{p-1},\quad [(\ref{dfg.13*})\; \S\: 4$$   гл. $$V$$   ч. $$II]$$

Кроме того, из (11.245) следует

$$p(p+s)=\frac{\gamma^2}{\sin^2\varepsilon}-k^2.$$ (11.254)

Поэтому функция $G(x)$ равна

$$G(x)=C\cdot\left(\frac{\gamma}{\sin\varepsilon}-k\right)x^{\frac{s}{2}}e^{-\frac{x}{2}}Q^s_{p-1}(x).$$ (11.255)

Тем самым постоянная $C^{\prime}$ в (11.248) выражена через $C$ .

Постоянную $C$ нужно определить из условия нормировки. Обозначим, как мы это делали при изложении теории Шредингера, буквой a атомную единицу длины

$$a=\frac{\hbar^2}{mc^2}$$ (11.256)

и буквой $r_{1}$ расстояние от ядра в атомных единицах, т.е. отношение

$$r_{1}=\frac{r}{a}.$$ (11.257)

Постоянная $\alpha$ формулы (11.234) будет равна

$$\alpha=\frac{\sqrt{m^2c^4-W^2}}{\hbar c}=\frac{1}{a}\frac{\sin\varepsilon}{\gamma},$$ (11.258)

так что переменная $x$ связана с $r_{1}$ соотношением

$$x=2\alpha r=2\frac{\sin\varepsilon}{\gamma}r_{1}.$$ (11.259)

В качестве условия нормировки возьмем

$$\int\limits_{0}^{\infty}(f^2_{1}+f^2_{2})dr_{1}=1,$$ (11.260)

или

$$\int\limits_{0}^{\infty}(f^2_{1}+f^2_{2})dx=\frac{2\sin\varepsilon}{\gamma}.$$ (11.261)

Выражая $f_{1}$ и $f_{2}$ через $F$ и $G$ , получим

$$f^2_{1}+f^2_{2}=\frac{1}{\sin^2\varepsilon}(F^2+G^2-2FG\cos\varepsilon).$$ (11.262)

Подставляя (11.258) в (11.256) и принимая во внимание, что $F$ и $G$ друг к другу ортогональны, мы можем написать условие нормировки в виде

$$\int\limits_{0}^{\infty}(F^2+G^2)dx=\frac{2\sin^2\varepsilon}{\gamma}.$$ (11.263)

Вычисляя отсюда значение постоянной $C$ , получим

$$C^2=\frac{1}{(p-1)!\Gamma(p+s)\left(\frac{\gamma}{\sin\varepsilon}-k\right)}\cdot\frac{\sin^4\varepsilon}{\gamma^2},$$ (11.264)

или, на основании (11.250),

$$C^2=\frac{\left(\frac{\gamma}{\sin\varepsilon}+k\right)}{p!\Gamma(p+s+1)}\cdot\frac{\sin^4\varepsilon}{\gamma^2}.$$ (11.265)

Отсюда, вводя функции

$$Q^{* s}_{p}(x)=\frac{1}{\sqrt{p!\Gamma(p+s+1)}}Q^s_{p}(x),$$

будем иметь

$$F(x)=\frac{\sin^2\varepsilon}{\gamma}\sqrt{\frac{\gamma}{\sin\varepsilon}+k}\cdot x^{\frac{s}{2}}e^{-\frac{x}{2}}Q^{* s}_{p}(x),$$ (11.266)

$$G(x)=\frac{\sin^2\varepsilon}{\gamma}\sqrt{\frac{\gamma}{\sin\varepsilon}-k}\cdot x^{\frac{s}{2}}e^{-\frac{x}{2}}Q^{* s}_{p-1}(x).$$ (11.267)

Величину $${\frac{\gamma}{\sin\varepsilon}}$$ удобно обозначать через $n^{*}$ :

$$n^{*}=\frac{\gamma}{\sin\varepsilon}.$$ (11.268)

Квадрат ее равен

$$n^{*^2}=p^2+2p\sqrt{k^2-\gamma^2}+k^2,$$ (11.269)

так что величина $n^{*}$ мало отличается от целого числа

$$n=p+\vert k\vert,$$ (11.270)

которое можно толковать как главное квантовое число.

Вводя $n^{*}$ в выражения (11.262) и (11.263), можем написать их в виде

$$F=\displaystyle{\frac{\gamma}{n^{*^2}}\sqrt{n^{*}+k}\left(\frac{2... ...{s}{2}}e^{-\frac{r_{1}}{n^{*}}}Q^{* s}_{p}\left(\frac{2r_{1}}{n^{*}}\right),}$$ (11.271)

$$G=\displaystyle{\frac{\gamma}{n^{*^2}}\sqrt{n^{*}-k}\left(\frac{2... ...}{2}}e^{-\frac{r_{1}}{n^{*}}}Q^{* s}_{p-1}\left(\frac{2r_{1}}{n^{*}}\right).}$$ (11.272)

При данном главном квантовом числе $n$ число $k$ может принимать значения

$$k=-n+1, -n+2,\cdots -1, +1,\cdots, n-1, n,$$ (11.273)

всего $2n-1$ значение. Число $k$ не может равняться $-n$ , так как тогда нижний значок $Q^{*^s}_{p-1}$ в (11.267) стал бы отрицательным; значение же $k=+n$ возможно, так как в этом случае, согласно (11.266) будет $p=0$ и, в силу (11.265), $n^{*}=k$ , так что множитель $\sqrt{n^{*}-k}$ при $Q^{*^s}_{p-1}$ обращается в нуль.

Число $p$ близко связано с радиадьным квантовым числом $n_{r}$ теории Шредингера; а именно, на основании равенств

$$n=n_{r}+l+1=p+\vert k\vert$$

и связи между $l$ и $k$ мы имеем

$$\left. \begin{array}{lcr} p&=&n,\qquad \mbox{при } k>0, p&=&n_{r}+1\; \mbox{при } k<0. \end{array} \right\}$$ (11.274)

Таким образом, мы нашли собственные функции, соответствующие точечному спектру. Не представляет особого труда найти решение наших уравнений для значения $W=+mc^2$ , соответствующего границе между точечным и сплошным спектром, а также для сплошного спектра, но на этом мы останавливаться не будем.