8.  Вывод асимптотического выражения

Чтобы вывести на основании формулы (7.110) $\S 7$ асимптотическое выражение для $Q$ , справедливое при больших положительных значениях $x_{1}$ , мы деформируем путь интегрирования в интеграле (7.110) $\S 7$ следующим образом. Вместо прямолинейного отрезка мы соединим точки 0 и $1$ ломаной линией, идущей от 0 до $iA$ , от $iA$ до $iA+1$ и от $iA+1$ до 1, где $A$ -некоторое положительное число. Так как между первоначальным и деформированным контуром подынтегральная функция голоморфна, то величина интеграла от такой деформации не изменится. Если мы будем увеличивать $A$ до бесконечности, то интеграл по участку от $iA$ до $iA+1$ будет, вследствие показательного множителя $e^{-x_{1}A}$ под интегралом, стремиться к нулю, и в пределе мы получим

$$Q=\int\limits_{0}^1 e^{ix_{1}z}f(z)dz=\int\limits_{0}^{i\infty} e^{ix_{1}z}f(z)dz+\int\limits_{1+i\infty}^1 e^{ix_{1}z}f(z)dz,$$ (8.120)

где $f(z)$ имеет значение (7.110) $\S 7$ . В первом интеграле полагаем

$$z=\zeta e^{i\frac{\pi}{2}}$$ (8.121)

и во втором

$$1-z=\zeta e^{-i\frac{\pi}{2}}.$$ (8.122)

Пределы для $\zeta$ будут в обоих интегралах 0 и $\infty$ . Мы будем иметь

$$\begin{multline} Q=ce^{i(s+1)\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\lambda_{1}} \int\limits... ...ambda_{1}}(1+i\zeta)^{\frac{s-1}{2}+i\lambda_{1}}d\zeta. \nonumber\end{multline}$$

()

Если мы введем переменную

$$t=\zeta x_{1},$$ (8.124)

то можем написать

$$\begin{multline} Q=ce^{i(s+1)\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\lambda_{1}}\frac{\Gamma... ...da_{1})}{x^{\frac{s+1}{2}-i\lambda_{1}}_{1}}\cdot\bar J, \nonumber\end{multline}$$

()

где через $J$ обозначен интеграл

$$J=\frac{1}{\Gamma(\frac{s+1}{2}+i\lambda_{1})}\int\limits_{0}^\in... ...2}+i\lambda_{1}}\left(1-i\frac{t}{x_{1}}\right)^{\frac{s-1}{2}-i\lambda_{1}}dt,$$ (8.126)

а $\bar{J}$ есть сопряженная с ним величина. Асимптотическое выражение для $J$ получить уже нетрудно; для этого достаточно разложить подынтегральную функцию по обратным степеням $x_{1}$ и проинтегрировать почленно. Ввиду того, что ряд

$$\begin{multline} \left(1-i\frac{t}{x_{1}}\right)^{\frac{s-1}{2}-i\lambda_{1}}=1+... ...}{2}+1)}{1\cdot 2}\left(\frac{it}{x_{1}}\right)^2+\cdots \nonumber\end{multline}$$

()

сходится лишь при $\vert t\vert<\vert x_{1}\vert$ , тогда как интегрирование по $t$ происходит до бесконечности, ряд, полученный почленным интегрированием, будет расходящимся (асимптотическим). Мы будем иметь

$$J=F_{20}\left(i\lambda_{1}+\frac{1}{2}-\frac{s}{2}, i\lambda_{1}+\frac{1}{2}+\frac{s}{2}; \frac{i}{x_{1}}\right),$$ (8.128)

где символ $F_{20}(\alpha, \beta, z)$ обозначает формальный ряд, составленный по закону

$$F_{20}(\alpha, \beta, z)=1+\frac{\alpha\cdot\beta}{1}z+\frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1\cdot 2}z^2+\cdots$$ (8.129)

На основании (7.114) $\S 7$ , мы можем наши результаты записать в виде

$$\begin{multline} e^{-\frac{ix_{1}}{2}}F\left(\frac{s+1}{2}+i\lambda_{1}, s+1; ix... ...}, -i\lambda_{1}+\frac{1+s}{2}; -\frac{i}{x_{1}}\right), \nonumber\end{multline}$$

(8.128)

причем знак равенства нужно понимать в смысле асимптотического равенства. Полученная формула справедлива не только для вещественных, но и для комплексных значений $\lambda_{1}$ и $x_{1}$ при условии $-\frac{\pi}{2}\le\arcsin x_{1}\le\frac{\pi}{2}$ . Так, например, если мы положим

$$\lambda_{1}=i\lambda=i\left(\frac{s+1}{2}+p\right),\qquad x_{1}=-ix_{1},$$

где $p$ -целое положительное число, то второй член в (8.128), вследствие того, что

$$\frac{1}{\Gamma(-p)}=0,$$

обратится в нуль, а формула (8.128) дает точное (а не только асимптотическое) равенство

$$e^{-\frac{x}{2}}F(-p, s+1; x)=\frac{(-1)^p\Gamma(s+1)}{\Gamma(s+p+1)}e^{-\frac{x}{2}}x^pF_{20}\left(-p-s, -p; -\frac{1}{x}\right).$$ (8.131)

Из сравнения (8.129) с (3.24) и (3.36) $\S 3$ ясно, что формула (8.129) дает полиномы $Q^s_{p}(x)$ , расположенные по возрастающим степеням $x$ (слева) и по убывающим степеням $x$ (справа).