9.  Радиальные функции водорода для сплошного спектра

На основании результатов предыдущих параграфов [формулы (2.9), (2.11) §2 и (7.98), (7.99), (7.102), (7.104) §7], мы можем радиальную функцию атома водорода для сплошного спектра написать в виде

$$R_{\varepsilon l}(r_{1})=a(\varepsilon)e^{-ir_{1}\sqrt{2\varepsil... ...left(l+1+\frac{i}{\sqrt{2\varepsilon}}, 2l+2; ir_{1}\sqrt{8\varepsilon}\right),$$ (9.132)

причем эта функция будет вещественна, если только $a(\varepsilon)$ вещественно. Чтобы получить асимптотическое выражение для этой функции для больших $r_{1}$ , подставим в формуле (8.128) $\S8$ вместо $s, \lambda_{1}, x_{1}$ их значения и положим

$$\frac{1}{\Gamma\left(l+1+\frac{i}{\sqrt{2\varepsilon}}\right)}=\f... ...eft\vert\Gamma\left(l+1+\frac{i}{\sqrt{2\varepsilon}}\right)\right\vert}e^{ia},$$ (9.133)

а ряды $F_{20}$ заменим их предельными значениями $F_{20}=1$ . Мы получим тогда

$$\begin{multline} R_{\varepsilon l}(r_{1})\approx a(s)\frac{(2l+1)!}{\left\vert\G... ...}}\lg(r_{1}\sqrt{8\varepsilon})-(l+1)\frac{\pi}{2}+(a)]. \nonumber\end{multline}$$

(9.132)

Нам нужно нормировать эту функцию так, чтобы было

$$\lim_{\Delta\varepsilon\to 0}\frac{1}{\Delta\varepsilon}\int\limi... ...n+\Delta\varepsilon} R_{\varepsilon l}(r_{1})d\varepsilon\right\vert^2dr_{1}=1.$$ (9.135)

Иногда бывает удобно ввести вместо $\varepsilon$ другой параметр $k$ , связанный с $\varepsilon$ соотношением

$$\varepsilon=f(k),$$ (9.136)

где $f(k)$ есть некоторая монотонная функция, и рассматривать собственную функцию $R(k, r)$ , нормированную по формуле

$$\lim_{\Delta k\to 0}\frac{1}{\Delta k}\int\limits_{0}^{\infty}r_{1}^2\left\vert\int\limits_{k}^{k+\Delta k} R(k, r_{1})dk\right\vert^2dr_{1}=1.$$ (9.137)

Найдем связь между функциями, соответствующими различным нормировкам. Мы имеем, считая $\Delta\varepsilon$ и $\Delta k$ положительными,

$$\Delta\varepsilon=f^{\prime}(k)\Delta k,$$

$$\int\limits_{\varepsilon}^{\varepsilon+\Delta\varepsilon} R_{\var... ... l}(r_{1})d\varepsilon=f^{\prime}(k)\int\limits_{k}^{k+\Delta k} R(k, r_{1})dk$$

так как $\Delta k$ бесконечно мало. Подставляя эти выражения в (9.133) и сравнивая с (9.135), получаем

$$R(k, r_{1})= R_{\varepsilon l}(r_{1})\sqrt{\left\vert\frac{d\varepsilon}{dk}\right\vert} .$$ (9.138)

Формулу (9.133) или (9.135) можно преобразовать следующим образом. Так как собственные дифференциалы, относящиеся к различным участкам сплошного спектра, ортогональны, мы можем вместо (9.135) написать

$$\lim_{\Delta k\to 0}\frac{1}{\Delta k}\int\limits_{0}^{\infty}r_{... ...k}^{k+\Delta_{1}k} R(k^{\prime\prime}, r_{1})dk^{\prime\prime}\right\}dr_{1}=1,$$ (9.139)

где $\Delta_{1} k>\Delta k$ . В этой формуле мы можем перейти к пределу $\Delta k\to 0$ , оставляя $\Delta_{1} k$ отличным от нуля. Мы получим

$$\int\limits_{0}^{\infty}r_{1}^2\bar{R}(k, r_{1})\int\limits_{k-\Delta_{1}k}^{k+\Delta_{1}k} R(k^{\prime}, r_{1})dk^{\prime}dr_{1}=1.$$ (9.140)

Пусть теперь $R^0(k, r_{1})$ -ненормированные функции, а $c(k)$ - нормировочный множитель, так что

$$R(k, r_{1})=c(k)R^0(k, r_{1}).$$ (9.141)

Так как $\Delta_{1} k$ бесконечно мало, мы можем вынести множитель $c(k)$ из-под знака интеграла и получим для определения его уравнение

$$\frac{1}{\vert c(k)\vert^2}=\int\limits_{0}^{\infty}r_{1}^2\bar{R... ...\limits_{k-\Delta_{1}k}^{k+\Delta_{1}k} R^0(k^{\prime}, r_{1})dk^{\prime}dr_{1}$$ (9.142)

Выражение в правой части не зависит от $\Delta_{1} k$ , как могло бы показаться на первый взгляд.

Предыдущие соображения относятся не только к данному примеру, но и к общему случаю нормировки собственных функций в сплошном спектре.

Для вычисления интеграла (9.140) разделим промежуток интегрирования по $r_{1}$ на две части от нуля до некоторого $r_{1}=A$ и от $A$ до $\infty$ . Интеграл в конечном промежутке (от 0 до $A$ ) будет, очевидно, стремиться к нулю одновременно с $\Delta_{1} k$ . Поэтому остается интеграл от $A$ до $\infty$ , и мы будем иметь

$$\frac{1}{\vert c(k)\vert^2}=\lim_{\Delta_{1} k\to 0}\int\limits_{... ...limits_{k-\Delta_{1}k}^{k+\Delta_{1}k} R^0(k^{\prime}, r_{1})dk^{\prime}dr_{1}.$$ (9.143)

Преимущество этой формулы в том, что, взяв $A$ достаточно большим, мы можем пользоваться асимптотическим выражением для $R^0(k, r_{1})$ .

Положим

$$k=\sqrt{2\varepsilon}$$ (9.144)

и возьмем в качестве $R^0(k, r_{1})$ ту функцию, которая имеет асимптотическое выражение

$$R^0(k, r_{1})=\frac{1}{r_{1}}\cos\left(kr_{1}+\frac{1}{k}\lg r_{1}+\gamma\right),$$ (9.145)

где $\gamma$ есть векторная функция от $k$ , значение которой можно получить из сравнения (9.143) с (9.132). Можно показать, что при вычислении предела (9.141) члены $\frac{1}{k}\lg r_{1}+\gamma$ под знаком косинуса не играют роли, так как они малы по сравнению с главным членом $kr_{1}$ .Оставляя поэтому только этот член, мы будем иметь

$$\begin{multline} \frac{1}{\vert c(k)\vert^2}=\lim_{\Delta_{1} k\to 0}\int\limits... ...+\cos2kr_{1})\frac{\sin(\Delta_{1}kr_{1})}{r_{1}}dr_{1}. \nonumber\end{multline}$$

(9.144)

Легко показать, что

$$\lim_{\Delta_{1} k\to 0}\int\limits_{A}^{\infty}\frac{\cos2kr_{1}\sin\Delta_{1}kr_{1}}{r_{1}}dr_{1}=0.$$ (9.147)

В самом деле, это выражение равно

$$\lim_{\Delta_{1} k\to 0}\left\{\frac{1}{2}\int\limits_{A}^{\infty... ...\int\limits_{A}^{\infty}\frac{\sin(2k-\Delta_{1}k)r_{1}}{r_{1}}dr_{1}\right\},$$

а величина в скобках представляет разность двух сходящихся интегралов, которые при $\Delta_{1}k=0$ совпадают. Остается, следовательно,

$$\frac{1}{\vert c(k)\vert^2}=\lim_{\Delta_{1} k\to 0}\int\limits_{A}^{\infty}\frac{\sin(\Delta_{1}k\cdot r_{1})}{r_{1}}dr_{1}.$$ (9.148)

Вводя здесь новую переменную $t=r_{1}\Delta_{1}k$ , получим

$$\frac{1}{\vert c(k)\vert^2}=\lim_{\Delta_{1} k\to 0}\int\limits_{... ...ty}\frac{\sin t}{t}dt=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi}{2},$$ (9.149)

так что мы можем положить

$$c(k)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}.$$ (9.150)

Таким образом, собственными функциями, нормированными относительно $k$ , будут те, которые имеют асимптотическое выражение

$$R(k, r_{1})\approx\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{r_{1}}\cos\left(kr_{1}+\frac{1}{k}\lg r_{1}+\gamma\right),$$ (9.151)

а нормированными относительно $\varepsilon$ будут, согласно формуле (9.136), имеющие асимптотическое выражение

$$R_{\varepsilon l}(r_{1})\approx\sqrt[4]{\frac{1}{2\varepsilon}}\s... ...(r_{1}\sqrt{2\varepsilon}+\frac{1}{\sqrt{2\varepsilon}}\lg r_{1}+\gamma\right).$$ (9.152)

Формула (9.132) дает теперь следующее значение множителя $a(\varepsilon)$ в выражении (9.130):

$$a(\varepsilon)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \sqrt[4]{8\varepsilon} e^{\... ...\vert\Gamma\left(l+1+\frac{i}{\sqrt{2\varepsilon}}\right)\right\vert}{(2l+1)!}.$$ (9.153)

Функцию

$$\left\vert\Gamma\left(l+1+\frac{i}{\sqrt{2\varepsilon}}\right)\ri... ...sqrt{2\varepsilon}}\right)\Gamma\left(l+1-\frac{i}{\sqrt{2\varepsilon}}\right)$$

нетрудно выразить через элементарные функции. Полагая $\frac{1}{\sqrt{2\varepsilon}}=\lambda_{1}$ , перемножая равенства

$$\begin{array}{rcl} \Gamma(l+1+i\lambda_{1})&=&(l+i\lambda_{1... ...1})\cdots(1-i\lambda_{1})\Gamma(1-i\lambda_{1}) \\ \end{array}$$

и пользуясь формулой

$$\Gamma(1+i\lambda_{1})\Gamma(1-i\lambda_{1})=\frac{\pi\lambda_{1}}{\sinh\pi\lambda_{1}},$$ (9.154)

получаем

$$\vert\Gamma(l+1+i\lambda_{1})\vert^2=(1^2+\lambda_{1}^2)(2^2+\lambda_{1}^2)\cdots(l^2+\lambda_{1}^2)\frac{\pi\lambda_{1}}{\sinh\pi\lambda_{1}}$$ (9.155)

или

$$\begin{multline} \left\vert\Gamma\left(l+1+\frac{i}{\sqrt{2\varepsilon}}\right)\... ...sqrt{2\varepsilon}\sinh\frac{\pi}{\sqrt{2\varepsilon}}}. \nonumber\end{multline}$$

()

Подставляя это в формулу (9.151), получаем следующее окончательное выражение для $a(\varepsilon)$

$$a(\varepsilon)=\frac{2}{\sqrt{1-e^{-\pi\sqrt{\frac{2}{\varepsilon... ...}{2\varepsilon}\right)\cdots\left(l^2+\frac{1}{2\varepsilon}\right)}}{(2l+1)!}.$$ (9.157)

С этим значением $a(\varepsilon)$ формула (9.130), которую мы выпишем здесь еще раз:

$$R_{\varepsilon l}(r_{1})=a(\varepsilon) e^{-ir_{1}\sqrt{2\vareps... ...(l+1+\frac{i}{\sqrt{2\varepsilon}}, 2l+2; ir_{1}\sqrt{8\varepsilon}\right),$$ (9.158)

дает нормированные радиальные функции атома водорода для сплошного спектра.

Представляет интерес выражение для предельного значения $R_{\varepsilon l}(r_{1})$ при $\varepsilon\to 0$ . Пользуясь формулой (6.89) $\S 6$ и припоминая (6.90) $\S 6$ , будем иметь

$$\lim_{\varepsilon\to 0}R_{\varepsilon l}(r_{1})=\sqrt{\frac{2}{r_{1}}} J_{2l+1}(\sqrt{8r_{1}})=\lim_{n\to\infty} n^{\frac{3}{2}}R_{nl}(r_{1}).$$ (9.159)